Solución: sean \(w=\left(b-a\right)\) y \(l=\left(d-c\right)\) el ancho y largo del rectangulo, por lo que \(A=(b-a)(d-c)\), aplicando integración sobre una región, \begin{align} &A=\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}dydx=\int_{a}^{b}{\left.y\right|_c^ddx}\\ &A=\int_{a}^{b}{(d-c)dx}=(d-c)\left.x\right|_a^b\\ &A=(d-c)(b-a)\end{align} que por propiedad conmutativa es \(A=(b-a)(d-c)\) como se quería demostrar.

Solución: la recta \(L_1\) está dada por \(y=\frac{hx}{c},\) mientras que \(L_2\) es \(y=\frac{h}{c-b}(x-b),\) aplicando la definición de área como integral doble como la suma de las regiones, \begin{align} &A=\int_{0}^{c}{\int_{0}^{\frac{h}{c}x}dydx}+\int_{c}^{b}{\int_{0}^{\frac{h}{c-b}(x-b)}dydx}=\int_{0}^{c}{\left.y\right|_0^{\frac{hx}{c}}dx}+\int_{c}^{b}{\left.y\right|_0^{\frac{h(x-b)}{c-b}}dx}\\ &A=\int_{0}^{c}{\frac{h}{c}xdx}+\int_{c}^{b}{\frac{h}{c-b}(x-b)dx}=\left.\frac{h}{c}\frac{x^2}{2}\right|_0^c+\left.\frac{h}{c-b}\left(\frac{x^2}{2}-bx\right)\right|_c^b\\ &A=\frac{hc}{2}+\frac{h}{c-b}\left(\frac{b^2}{2}-b^2-\frac{c^2}{2}+bc\right)=\frac{hc}{2}+\frac{h}{c-b}\left(-\frac{c^2}{2}+bc-\frac{b^2}{2}\right)\\ &A=\frac{hc}{2}-\frac{h}{2(c-b)}\left(c^2-2bc+b^2\right)=\frac{hc}{2}-\frac{h{(c-b)}^2}{2(c-b)}\\ &A=\frac{hc}{2}-\frac{h\left(c-b\right)}{2}=\frac{hc-hc+bh}{2}=\frac{bh}{2}\\ \end{align} La cual es la expresión conocida para el área de un triángulo de base \(b\) y altura \(h.\)

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Solución: comenzando por despejar ye, en la ecuación de la elipse, al escribir la integral como una integral doble, para la parte superior el área está dada por, \begin{align} &A=\int_{-a}^{a}\int_{0}^{\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}}dydx\end{align} que al hacer \(x=a\sin{\theta}\) en \(\sqrt{a^2-x^2}\) produce, \begin{align} &A=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\frac{b}{a} \sqrt{a^2(1-\sin^2{\theta})}}{a\cos{\theta}dyd\theta}\\ &A=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{b\cos{\theta}}{a\cos{\theta}dyd\theta}\\ &A=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ab\cos^2{\theta}d\theta}\\ &A=2ab\left(\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}\right)=\frac{ab\pi}{2} \end{align} Como el área total de la elipse es dos veces el área de la semi elipse, del resultado encontrado se infiere que el área total de la elipse es \(A=ab\pi\).

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Solución: el área entre las curvas está dada por, $$A=\int_{a}^{b}{\int_{y_1\left(x\right)}^{y_2\left(x\right)}dydx}$$ para determinar los límites de integración \(a,b\) se igualan las expresiones de ye, resolviendo para equis la ecuación resultante.
\(y_1=y_2\) de donde \(1+x^2=3-x^2\Longrightarrow2x^2-2=0\Longrightarrow2(x^2-1)=0.\)
\(\left(x+1\right)\left(x-1\right)=0\) por lo que \(x_1=-1\ \ \ x_2=1.\) Calculando ahora el área. \begin{align} &A=\int_{-1}^{1}{\int_{1+x^2}^{3-x^2}dydx}=\int_{-1}^{1}\left.y\right|_{x^2+1}^{3-x^2}dx\\ &A=\int_{-1}^{1}{(3-x^2-(x^2+1)})dx=\int_{-1}^{1}{(2-2x^2})dx\\ &A=\left.\left(2x-\frac{{2x}^3}{3}\right)\right|_{-1}^1=2-\frac{2}{3}-\left(-2+\frac{2}{3}\right)\\ &A=\frac{3(2)-2}{3}-\frac{3(-2)+2}{3}=\frac{8}{3}\end{align}

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Solución: el área entre las curvas está dada por, $$A=\int_{a}^{b}\int_{y_1\left(x\right)}^{y_2\left(x\right)}dydx;$$ para determinar los límites \(a,b\) se igualan \(y_1=y_2\Longrightarrow x^2=4-x^2\) de donde \(2x^2-4=0\Longleftrightarrow x_1=-\sqrt2\ \ \ x_2=\sqrt2\) begin{align} &A=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\int_{x^2}^{4-x^2}dydx=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}{\left.y\right|_{x^2}^{4-x^2}dx}\\ &A=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\left(4-2x^2\right)dx=\left.\left(4x-\frac{2x^3}{3}\right)\right|_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\\ &A=4\sqrt2-\frac{2{(\sqrt2)}^3}{3}-\left(4(-\sqrt2)-\frac{2{(-\sqrt2)}^3}{3}\right)\\ &A=4\sqrt2-\frac{4\sqrt2}{3}+4\sqrt2-\frac{4\sqrt2}{3}=\frac{16\sqrt2}{3}\end{align}

Solución: haciendo \(y_1=y_2\) se tiene \(x^2+2=4-x^2\) de donde, \(2x^2-2=0\Longleftrightarrow x_1=-1\ \ \ x_2=1\) por lo que, \begin{align} &A=\int_{a}^{b}\int_{y_1\left(x\right)}^{y_2\left(x\right)}dydx=\int_{-1}^{1}\int_{x^2+2}^{4-x^2}dydx=\int_{-1}^{1}{\left.y\right|_{x^2+2}^{4-x^2}dx}\\ &A=\int_{-1}^{1}\left(4-x^2-x^2-2\right)dx=\int_{-1}^{1}\left(2-2x^2\right)dx\\ &A=\left.\left(2x-\frac{2x^3}{3}\right)\right|_{-1}^1=2-\frac{2}{3}-\left(-2+\frac{2}{3}\right)=\frac{8}{3} \end{align}

Solución: el área está dada por $$A=\int_{a}^{b}\int_{y_1\left(x\right)}^{y_2\left(x\right)}dydx$$ para determinar los límites \(a,b\) se iguala \(y_1=y_2\ \Longrightarrow x^2-6=2-x^2\) \begin{align} &2x^2-8=0\Longrightarrow 2(x^2-4)=0\Longleftrightarrow x_1=-2;\ x_2=2\\ &A=\int_{-2}^{2}\int_{x^2-6}^{2-x^2}dydx=\int_{-2}^{2}{\left.y\right|_{x^2-6}^{2-x^2}dx}\\ &A=\int_{-2}^{2}\left(2-x^2-x^2+6\right)dx=\int_{-2}^{2}\left(8-2x^2\right)dx\\ &A=\left.\left(8x-\frac{2x^3}{3}\right)\right|_{-2}^2=8(2)-\frac{2{(2)}^3}{3}-\left(8(-2)-\frac{2{(-2)}^3}{3}\right)\\ &A=16-\frac{16}{3}+16-\frac{16}{3}=\frac{64}{3}\end{align}

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Solución: el área está dada por $$A=\int_{a}^{b}\int_{y_1\left(x\right)}^{y_2\left(x\right)}dydx$$ para determinar los límites \(a,b\) se igualan \( y_1=y_2\ \Longrightarrow x^2-1=5-x\) \begin{align} &x^2+x-6=0\Longrightarrow(x+3)(x-2)=0\Longleftrightarrow x_1=-3;\ x_2=2\\ &A=\int_{-3}^{2}\int_{x^2-1}^{5-x}dydx=\int_{-3}^{2}{\left.y\right|_{x^2-1}^{5-x}dx}\\ &A=\int_{-3}^{2}\left(5-x-x^2+1\right)dx=\int_{-3}^{2}\left(6-x-x^2\right)dx\\ &A=\left.\left(6x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\right|_{-3}^2=6(2)-\frac{2^2}{2}-\frac{2^3}{3}-\left(6(-3)-\frac{{(-3)}^2}{2}-\frac{{(-3)}^3}{3}\right)\\ &A=12-2-\frac{8}{3}+18+\frac{9}{2}-9=\frac{125}{6}\end{align}

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